[물리] 물리 역학 이론

물리를 공부하다 보면 많은 어려움이 있다.

진짜 이번에 시험 준비하면서 물리 망하는 줄 알았다.

근데 물리 대신 수학을 망했다

 

그래서 내가 물리를 공부하면서 찾은 다양한 빠른 문제 풀이를 위한 이론들과 정리, 공식을 조용히 공개해보려고 한다. (짜피 시험 끝남 ㅋㅋ)

하지만 나도 직접 깨부하면서 생각해낸 이론들이기 때문에, 틀린 내용이 있을 수도 있다.

그래서 오류가 있다면 열심히 지적해주면 좋을 것 같다.

 

등가속도 운동

우선 역학 하면 가장 먼저 생각나는 등가속도 운동 부분이다.

보통 책에는 세가지 공식이 소개된다.

 

하지만 이 공식들에는 치명적인 단점이 있다.

공식을 이용하게 되면 각 물리량의 절대적인 값을 요구한다는 것이다.

하지만 대부분의 고난이도 문제에서는 절대적인 값이 아닌, 물리량이 비율관계의 형태로 제시되는 경우가 많기 때문에, 문제 풀이에 적합하지 않을 수 있다.

또한 2번 공식의 경우 시간을 요구하고, 3번 공식의 경우 가속도를 요구하기 때문에, 공식을 사용하게 되면 미지수가 많아져서 식 정리에 어려움을 겪을 수 있다.

 

그렇다면 등가속도 운동에서는 어떤 관점으로 문제를 풀어야 할까?

 

평균속도

우선 가장 많이 알려진 이론이 평균속도 이론이다.

 

 

등가속도 운동의 v-t 그래프에서 넓이는 이동거리를 의미한다.

그런데 자세히 보면 그래프를 잘라 붙여서 직사각형을 만들 수 있는 것을 알 수 있다.

이때 높이는 시작속도랑 나중속도의 평균값, 즉 평균속도가 된다.

 

따라서 우리는 2번 공식이 아닌, 평균속도를 이용하여 이동거리를 구할 것이다.

 

이것으로부터 얻는 장점은 2번 공식을 위해서는 가속도를 구해야 하지만, 평균속도를 이용하면 그럴 필요가 없기 때문이다.
물리량들이 상수로 주어진다면 별로 귀찮은 작업이 아닐 수 있지만, 물리량이 비율로 주어진다면 문자로 나타나게 되어 계산이 복잡해지게 된다.

 

등속운동에서의 평균속도

등속운동에서도 평균속도를 사용할 수 있다.

만약 t1초 동안 v1의 속도로 이동하였고, t2초 동안 v2의 속도로 이동하였다면, 전체 시간동안의 평균속도는 v1과 v2를 t2:t1으로 내분한 값이 나오게 된다.

 

평균속도과 시간의 관계

평균속도를 이용하면 시간의 비를 보다 쉽게 구할 수 있게 된다.

만약 두 지점을 이동한 시간의 비가 1:3인데, 두 지점 사이의 거리가 같다면 평균속도의 비는 시간의 비의 역수인 3:1이 되는 것이다.

그렇다면 이것을 이용해서 비례식을 세워주면 바로 답을 구할 수 있게 된다.

 

이처럼 평균속도와 시간의 관계를 잘 활용한다면 평균속도나 시간 둘 중 하나만 알 경우 나머지 하나를 빠르게 구할 수 있게 된다.

 

상대속도

그 다음은 상대속도이다.

상대속도는 가속도가 같은 두 물체에서 상대속도는 항상 일정하기에, 등속운동의 형태로 움직임을 해석할 수 있다는 이론이다.

이 이론은 같은 빗면에 있을 때 등의 상황에서 적극적으로 활용할 수 있다.

 

이를 이용하면 빗면 위에 있는 두 물체가 충돌하는 시점 등을 매우 쉽게 구할 수 있다.

 

 

운동의 역진성

운동의 역진성은 빗면 위에서 등가속도 운동하는 물체가 있을 때, 빗면 위로 올라가던 물체가 정지하는 운동을 정지해있던 물체가 내려가면서 가속하는 운동으로 해석해도 결과가 같다는 이론이다.

v-t 그래프를 보면 당연하다는 것을 알 수 있다.

이렇게 해석을 하면 기존에는 초기속도와 가속도를 모두 고려해야 이동거리를 구할 수 있었던 것과 달리,

시간의 제곱과 이동거리가 비례한다던가 하는 비율 관계를 조금 더 적극적으로 활용할 수 있는 기회가 주어진다.

 

특히 특정 시간 뒤에 이동한 거리를 주고, 정지했을 때의 총 이동거리를 구하라는 문제 등에서 활용할 수 있다.

 

시간지연 이론

시간지연 이론은 특정한 경우에만 사용할 수 있는 이론이다.

바로 빗면에서 두 물체가 같이 등가속도 운동을 하다가 수평면으로 올라와서 같이 등속운동을 하는 경우이다.

 

이 경우 두 물체를 A, B라 한다면 B를 A의 특정 시간 후의 미래라고 해석할 수 있다.

이것이 성립하는 이유는 두 물체가 같은 경로를 따르고, 그 중에는 공통된 경로가 존재하기 때문이다.

 

공통된 경로에서는 같은 시간을 소비하기 때문에, 각자 겹치지 않은 경로에서 소비한 시간도 같아야 전체 시간도 같아지기 때문에 결과적으로 B가 A의 특정 시간 후의 미래가 되는 것이다.

 

 

 

등가속도 운동에서 고민해볼만 한 관점은 이정도 있는 것 같다.

 

힘과 돌림힘

다음은 힘과 돌림힘에 관련된 부분이다.

힘 파트에서 가장 중요한 공식은 당연히

일 것이다.

 

하지만 물체가 많아지거나, 물체의 질량이 주어지지 않게 되면 모든 힘을 고려하게 될 경우 문제 해결이 매우 복잡해질 수 있다.

그래서 힘 파트에서 문제 해결 속도를 단축시키는 데에 가장 중요한 것이 고려하지 않아도 되는 힘을 최대한 배제하고 해석하는 것이다.

그 중 가장 배제하기 쉬운 힘이 장력이다.

이는 여러 개의 물체를 하나의 물체로 두는 것을 통해 장력을 무시할 수 있다.

또 하나는 평형 상태가 주어진다면 그때 작용하던 힘을 모두 없다고 생각하고, 작용하던 힘이 사라져서 생기는 움직임을 가상의 힘이 새로 작용했다고 해석하여 힘의 개수를 줄이는 것이다. (이는 밑에서 자세히 설명함)

 

이처럼 힘을 줄여야 운동 방정식의 개수를 줄일 수 있고, 곧 빠른 문제 풀이로 이어질 수 있다.

 

또한 돌림힘 파트의 경우 일반적인 돌림힘 공식도 좋지만, 무게중심을 최대한 활용하는 편이 좋다.

무게중심을 활용한다면, 돌림힘 평형식 2개가 아닌, 무게중심의 위치조건을 통해 부등식 1개를 세우는 것으로 문제를 해결할 수 있기 때문이다.

또한 이 무게중심 공식을 다른 방식으로 활용하여 풀이할 수도 있다. (이것도 아래에서 자세히 설명함)

 

겉보기 중력

겉보기 중력은 어떤 물체에 힘이 작용할 때, 겉보기 중력이라는 새로운 중력이 작용한 것으로 해석하여 풀이할 수 있다는 이론이다.

이것은 여러 개의 물체가 실로 연결된 상황 등 각각의 물체에 작용하는 힘을 해석하기 어려운 경우에 힘을 하나로 합쳐서 해석해야 하는 경우에 사용하기 좋다.

 

원래 F가 0N이었다면 두 물체는 자유낙하 하여 T = 0이 되지만, F에 의해 T가 생겼기 때문에 이 T는 순수하게 두 물체의 질량과 F에 의해서만 결정된다고 할 수 있고, 이는 곧 두 물체에 100N이라는 겉보기 중력이 작용한다는 것으로 해석할 수 있다.

따라서 중력이 100N이니까 중력가속도는 20m/s^2 것이고, 따라서 T = 20 x 3 = 60N이 나오게 된다.

 

겉보기 힘

겉보기 힘은 평형 상태에 있다가 사라진 힘으로 인해 가속도가 생길 때, 이를 아무 힘도 작용하고 있지 않다가 가상의 엄청난 힘이 반대 방향으로 작용한다는 것으로 해석하여 F = ma에 대입하여 풀 수 있다는 이론이다.

 

이러한 문제에서 사용하면 유용하다.

물체가 4개나 되어서 각각의 장력과 중력을 따지기에는 무리가 있다.

이러한 경우에 실을 끊었을 때의 가속도와 겉보기 힘을 써서 m과 M의 관계를 구해준다면 그 다음 과정은 쉽게 진행할 수 있을 것이다.

 

돌림힘 평형 최대/최소

다음은 매우 간단한 내용이다.

돌림힘 문제를 풀 때, 어떠한 물체의 위치의 최대나 최소를 구할 때에는, 그때의 무게중심이 어디에 위치할지를 알면 매우 쉽게 풀 수 있게 된다.

 

예를 들어 위 그림에서 오른쪽 물체가 가장 왼쪽으로 이동한다면, 그때의 무게중심은 왼쪽 받침대가 되는 것이고,

왼쪽 물체가 가장 오른쪽으로 이동한다면, 그때의 무게중심은 오른쪽 받침대가 되는 것이다.

 

무게중심 변화량

많은 돌림힘 평형 문제에서 무게중심을 활용하게 된다.

무게중심을 이용하게 된다면, 위에서 돌림힘을 이용했던 문제도 무게중심이 두 받침대 사이에 존재한다는 부등식을 세우는 것으로 해결할 수 있게 된다.

하지만 무게중심 공식은 사실 변화량만 따져도 등식이 성립한다.

 

 

따라서 이를 활용하면 막대 위에서 이동하는 물체가 있을 때, 그 물체가 이동할 수 있는 거리 등을 쉽게 구할 수 있다,

 

예시 문제)

x의 최댓값과 최솟값의 차가 2d일 때 M과 m의 관계를 구하시오.

 

이러한 문제가 대표적으로 무게중심 변화량을 이용할 수 있는 문제이다.

 

무게중심의 변화량이 d이고, 움직이는 물체는 A 뿐이기에 식을 다음과 같이 세울 수 있을 것이다.

이 식을 정리하면 M = 2m이라는 관계를 쉽게 구할 수 있다.

 

이처럼 무게중심의 변화량을 이용하면 움직이지 않는 물체들이 작용하는 돌림힘을 생각하지 않아도 되기 때문에 빠르게 돌림힘 문제를 해결할 수 있다.

 

다만 x가 음수가 될 경우 x의 범위가 0보다 작은 것까지 변화량에 포함되기 때문에 항상 최솟값과 최댓값이 그림 내에서 존재할 수 있는지가 확실할 경우에만 사용해야 한다.

그렇지 않으면 음수 범위까지 포함되게 되어 답이 틀릴 수 있다,

 

무게중심 수직항력

 

이건 무게중심이 있고, 그 물체를 받치고 있는 받침대가 있을 때, 받침대가 막대에 작용하는 수직항력의 비는 각 받침대로부터 무게중심까지의 거리의 비의 역수라는 이론이다.

일반적인 돌림힘 평형을 이용했다면 F1과 F2를 이용해서 2개의 돌림힘 평형식을 세웠어야 했을 것이다. 특히 막대 위에서 수례 등이 움직인다면 식이 더 추가되었을 것이다.

하지만 무게중심을 먼저 구한 다음에 각 받침대가 작용하는 힘을 구해준다면 더욱 빠른 풀이가 가능해진다.

 

증명은 너무 간단하기 때문에 생략하도록 하겠다.

(시험 끝났는데 이러고 있는것도 귀차나요 ㅋㅋ)

 

무게중심 기여도

이거는 사실 위에서 말한 무게중심 변화량과 같은 내용이다.

하지만 나는 내 머리속에서 평소에 아래와 같은 방식으로 생각해서 풀기도 해서 한번 가져왔다.

 

 

어떤 물체가 움직일 때, 움직인 거리에 무게중심 기여도를 곱하면 그것이 무게중심의 변화량으로 나타난다는 이론이다.

이때 무게중심 기여도는 그 물체가 전체에서 차지하는 질량 비중을 의미한다.

 

그냥 무게중심 변화량을 질량이 주어졌을 때, 암산에 유리하도록 바꾸어 놓은 것 뿐이다.

(이거 안써도 상관 없다는 뜻 ㅇㅇ)

 

가속도 변화량의 비

여러 물체가 있고 물체들이 실로 연결이 되어 있을 때, 실이 끊어진다면 실이 끊어진 지점을 기준으로 왼쪽과 오른쪽에 존재하는 물체들을 하나로 두고 본다면 아래와 같은 형태일 것이다.

(빗면도 성립하는데, 처음에 저렇게 그려놔서 ㅋㅋㅋ 다시 그리기가 귀찮네요. 그냥 봐주세요 ㅎㅎ)

 

이때 끊긴 직후에 발생하는 가속도의 변화량의 비가 질량비의 역수라는 관계가 성립한다.

 

이를 잘 활용한다면 실을 끊는 문제를 매우 쉽게 풀어버릴 수 있다.

 

예를 들어 물체 A와 B가 있고, 실이 중간에 끊길 때, A의 v-t 그래프가 주어졌다고 치자.

그러면 A의 가속도를 알기에 가속도 변화량을 알고, 그러면 질량비를 통해 B의 가속도 변화량을 바로 구할 수 있을 것이다.

이를 통해 B의 실을 끊은 후 속도를 알 수 있다.

 

 

이게 끝이다.

 

 

어.. 시험 끝나고 멘탈이 나간 다음에 쓰는 글이라 글이 난장판이긴 한데...

나중에 시간이 되면 좀 고쳐보도록 할게요.